رياضيات: مفـهـوم - حساب المثلثات

[أ.رحاب]

 

بســم الله الرحمــن الرحيــم

المفاهيم العلمية: اختبار التحصيلي العلمي - ريـاضيـات

مفـهـوم: حساب المثلثات

سنستذكر في هذه الجزئية ما يأتي:

- إيجاد قيم الدوال المثلثية لأي زاوية.
- استعمال الدوال المثلثية لإيجاد أطوال أضلاع زوايا مثلثات قائمة الزاوية وقياساتها.
- رسم زاوية في الوضع القياسي, وإيجاد قياسها.
- تحويل القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان, والعكس.
- إيجاد قيم الدوال المثلثية باستعمال زوايا مرجعية.
- استعمال قانون الجيوب وقانون جيوب التمام في حل المثلث.
- استعمال خصائص الدوال الدورية في إيجاد قيم مثلثية.
- التمثيل البياني للدوال الدائرية.
- إيجاد قيم الدوال المثلثية العكسية.
- حل معادلات باستعمال الدوال المثلثية العكسية.
- استعمال المتطابقات المثلثية لإيجاد النسب المثلثية.
- إيجاد قيم الجيب وجيب التمام باستعمال المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين, والفرق بينهما, وضعف الزاوية ونصف الزاوية.
- حل المعادلات المثلثية.

المصدر: مركز قياس

[أ.رحاب]

 

. الدوال المثلثية في المثلث القائم الزاوية .





مثال:
يستطيع أحمد حساب ارتفاع بناية إذا علم بعده الأفقي من تلك البناية,
والزاوية المحصورة بين خط نظره المار في قمة البناية والخط الافقي, وذلك من خلال استعمال نسبة معينة.

* مفاهيم أساسية:

إذا كانت تمثل قياس زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية, فإن الدوال المثلثية الست تعرف كما حسب الآتي:








مثال:
ABC مثلث قائم الزاوية في B وكان (tan A = (3\4 , فجد قيمة Sin C .

الحل:

* مفاهيم أساسية:

تستعمل قياسات الزوايا 60ْ , 54ْ , 30ْ كثيراً لحساب المثلث, والجدول الآتي يعطي قيم الدوال المثلثية لها:






بالعودة إلى مثال أحمد وحساب ارتفاع البناية, فإنه يستطيع حساب ارتفاع البناية باستعمال دالة الظل, حيث إن:

[أ.رحاب]

 

. الزوايا وقياستها .



مثال:
يثني لاعب الجمباز جسمه إلى الأمام بزاوية تقدر بـ 20ْ ثم يدور في الهواء مرة أو مرتين قبل أن يستقر واقفاً,
وفي مثل هذه الحالة, وبفرض أنه دار في الهواء مرة واحدة, فإن مناورته تقدر بـ 380ْ وهذه الزاوية يمكن رسمها في الوضع القياسي.

* مفاهيم أساسية:

تكون الزاوية المرسومة في المستوى الإحداثي في وضع قياسي, إذا كان رأسها نقطة الأصل, وكان أحد ضلعيها منطبقاً على الجزء الموجب من المحور.

- وإذا دار ضلع الانتهاء بعكس عقارب الساعة, يكون قياس الزواية موجباً.



- وإذا دار ضلع الانتهاء مع عقارب الساعة, يكون قياس الزاوية سالباً.






يمكن تحويل قياس الزوايا من:
القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان, وذلك بالضرب في
القياس بالراديان إلى القياس بالدرجات, وذلك بالضرب في

مثال:






طول القوس: طول القوس من الدائرة S , المقابل لزاوية مركزية



مثال:
طول إطار سيارة 70cm , ما المسافة بالمتر التي تقطعها السيارة بعد دوران إطاراتها (1/ 2) دورة ؟

الحل:
طول القطر هو 70cm , طول القطر هو 35cm , ويساوي 0.35m

نصف الدورة يساوي 180ْ ويساوي راديان وبذلك يكون:






إيجاد الزاوية المرجعية: إذا كان قياس الزاوية أكبر من 360ْ أو سالباً ,
فاستعمل زاوية بقياس موجب محصور بين 360ْ , 0ْ ومشترك في ضلع الانتهاء مع الزاوية.

مثال: تمثيل الزاوية المرجعية لكل مما يأتي:

[أ.رحاب]

 

. الدوال المثلثية للزوايا .



مثال:
تنتشر العجلة الدوارة في مدن الألعاب, ويمكن إيجاد ارتفاع إحدى عرباتها في لحظة معينة, عندما تدور العجلة بزاوية أكبر من 90ْ .

* مفاهيم أساسية:

لتكن مرسومة في الوضع القياسي, ولكن النقطة (p(x.y تقع على ضلع الانتهاء لها, كما في الشكل.








مثال:
إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية المرسومة في الوضع القياسي يمر بالنقطة (12 , -5)
فجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية .








إشارة قيمة الدالة المثلثية للزاوية , باستعمال الربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء.






مثال(1):

جد قيمة : sin 135ْ

الحل:






مثال(2):

[أ.رحاب]

 

. قانون الجيوب وقانون جيوب التمام .




مثال:

رصد برج المراقبة في مطار الملك خالد الدولي وجود طائرتين في سماء الرياض, وكان بعد كل من الطائرتين عن برج المراقبة (a)mi , b(mi)

وبمعرفة قياس الزاوية كما في الشكل, يمكن باستعمال حساب المثلثات إيجاد المسافة c بين الطائرتين.











إذا كانت أضلاع المثلث ABC التي أطوالها a,b,c, تقابل الزوايا ذات القياسات A,B,C على الترتيب,
فإن العلاقات الآتية تكون صحيحة:

[أ.رحاب]

 

. الدوال الدائرية وتمثيل الدوال المثلثية بيانياً .



مثال:
يوجد في بعض مدن الألعاب الأرجوحة التي تدور دورة كاملة حول ذراع يحمل كرسياً كما في الشكل,
ويمكن تمثيل ارتفاع ذراع الدوران في أثناء دورانه بدالة بالنسبة إلى الزمن.
ونلاحظ أن ذراع الدوران في الشكل يكمل دورة كاملة كل 4S .






* دائرة الوحدة:
دائرة مرسومة في المستوى الإحداثي, مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها وحدة واحدة.


1- دوال في دائرة الوحدة:

إذا قاطع ضلع الانتهاء للزاوية المرسومة في الوضع القياسي, دائرة الوحدة في النقطة (p(x,y

فإن:









2- السعة وطول الدورة:

لإيجاد السعة وطول الدورة.



حيث أن: السعة لدالتي الجيب, وجيب التمام تساوي نصف الفرق المطلق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة.

طول الدورة: الطول الأفقي لكل دورة.